⭐徐彦辉：没有想象力培养，就没有数学教育

　　党的二十大报告提出，加强基础研究，突出原创，鼓励自由探索。科技部、教育部、中科院、自然科学基金委2019年联合制定的《关于加强数学科学研究工作方案》指出，数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。数学实力往往影响着国家实力，几乎所有的重大发现都与数学的发展与进步相关。

　　数学是一门充满自由和创造力的学科，数学家们可以自由地发挥想象力，创造出新的概念及方法，探索未知的领域。想象是数学创造性思维的基本要素，想象力对于数学研究和发现至关重要。传统的数学教育往往流于形式主义，不利于培养学生的想象力。为此，本文着重探讨如何有效培养学生的数学想象力。

　　1.数学的创造需要想象和想象力

　　数学是一门完全按照符号运行的纯粹理性科学，是一门抽象的基于公理化的形式化科学，具有逐级抽象的特点。数学学科的这种抽象性特点，使得不少人认为数学研究就是按部就班地从现实情境中提炼问题，发现其中的数学问题及其规律性，进而将数学问题组织成原理，并用数学语言模式描绘原理，最后，进行数学原理的验证和进一步推广。数学学科这种一步一步逐级抽象的特点常常使人看不到数学创造的本真过程，容易让一些人认为数学的创造就是按部就班的机械式过程，数学创造不需要想象和想象力，从而导致数学教育中常常忽视想象和想象力的培养。

　　事实上，想象和想象力在数学创造和发现中起着极其重要的作用。数学家可以不受已有体系的思维束缚，大胆地运用想象力，发现新的数学知识。数学是一个有机的整体，它像一个庞大的、多层次的、不断生长的、无限延伸的网络。数学家们的工作是建立新的网络结点，寻找新的连接，清理和整合众多的连接，并从客观世界汲取营养来丰富、延伸这个网络。数学的创造大多来自数学家的直觉，它离不开想象。数学原本就是用来描述所有可想象世界的科学，它是一个逻辑上封闭的系统，在基础公理的奠基下，可以朝各个方向无限延伸。想象的空间延展到哪儿，数学的脚步就能迈到哪儿。简而言之，数学的世界就是一个充满无限可能的想象世界。

　　列宁曾高度评价想象在科学创造中的重要作用，认为“幻想是极其可贵的品质”，他说，“有人认为，只有诗人才需要幻想，这是没有理由的，这是愚蠢的偏见!甚至在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。”哲学家帕斯卡尔也说，“想象的特别之处在于，它可以产生最伟大的事物。”想象是由已知深度思考未知，是探索真理宝库的钥匙。数学发明创造的动力很大程度上是基于想象力的发挥，数学家必须具备想象力，这样才能发现数学知识之间隐藏的联系，并发挥想象构思出新的数学知识。

　　最成功的数学家是知识面最宽、概念的类比能力和想象能力最强的人。正如数学家爱德华·弗伦克尔所指出的那样：想象力在我们的工作中确实起着至关重要的作用。知名数学家、德国马科斯-普朗克数学研究所教授唐·查吉尔也曾指出：对于数学家来说，想象力非常重要，虽然这并不代表拥有更丰富想象力的数学家就一定能做出更多的成果，但是数学家的想象力越丰富，他的数学成果的“品味”就越高级，甚至可以开创一个全新的领域。想象力是能动的知识，是创造力和智慧的必要背景。一个人可能拥有很多数学知识、数学基础扎实，如果这个人同时又具备足够想象力的话，就有可能创造出新的数学知识。

　　2.很多人“只是学会了计算，而不是数学”

　　想象力是一种非常重要的思维能力，被定义为“形成感官不存在的外部对象的新想法或概念的能力”。它不仅仅是一种形成图像的能力，而是一种以特定方式思考的能力。每一个重大基础问题的突破，都是一次想象力的飞跃。爱因斯坦非常重视想象力，他说，“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素”。

　　想象力不是生来就有的先天素质，而是后天开拓和教育培养的结果。长期以来，我国传统的数学教育缺乏惊奇和想象力，制约了学生创造力的发展。培养想象力不是一朝一夕就能实现的，需要我们长期坚持不懈地努力。

　　有一个论点听起来发人深省，那就是：我们的学生可能从未学过真正的数学。正如著名数学家陈省身先生在全球数学家大会上指出的那样：“我们每个人一生都花了很多时间学数学，但我们其实只是学会了计算，而不是数学。”其中的原因很多——刻板的教学方式、教科书和课程，以及我国数学教育传统和考试文化对“规范”的极端重视，对“遵循规范”的过度强调与训练。这些训练教导学生如何依循规则找出每个问题背后统一的标准答案，实质上严重制约着学生想象力的发展。在这种情境下，发现数学之美、延展想象力的空间相当有限。事实上，学生在课堂中时常会有一些奇怪的想法，这些想法也许听起来很荒唐，甚至不着边际，但其实这正是开发学生想象力的绝好机会。而在以前的课堂上，很多教师并没有意识到这种机会的可贵，也不擅长把握这样的机会，这种忽视，常常导致学生创造性想象的意识被扼杀在摇篮之中。

　　3.将想象力培养渗透到课堂各环节

　　数学不是缺乏人性色彩的单纯的计算学科。在数学教学中，我们要鼓励学生大胆想象，让学生学会自己提出问题、自己发现、自己试错，亲身经历创造中的挫折、产生灵感，最终形成自己的解释和证明。学生想象力的发展应成为数学教育中必不可少的部分，必须鼓励学生利用他们的想象力独立思考。笔者结合多年的教学实践，谈谈在数学教学中培养学生想象力的一些探索。

　　一是注重背景知识的导入，引导学生积极讨论交流以激发想象。纵观数学的发展，人们对数学的认识和了解，数学概念、问题、定理、法则、公式、理论的提出和完善，无不包含着数学家们丰富的想象力。如果在教学中适当地介绍有关背景知识，使学生了解数学猜想的提出及数学概念、问题、定理、法则、公式和理论建立的来龙去脉，不仅能激发学生的学习兴趣，加深学生的理解程度，而且能使学生从数学家们研究问题的方法中得到启发，培养学生严谨治学的科学态度以及善于想象的意识和能力。

　　想象力是一种多角度、多层面的思维能力，它需要围绕某一问题朝着多种不同的方向展开思考。在课堂教学中，教师可以按照知识内容和教学要求来转变问题的形式和视角，为学生提供发挥想象的空间，鼓励学生积极想象，尽可能让学生对同一问题说出不同的观点和看法，同时支持学生相互争辩、讨论，在争辩和讨论中促进对问题的深入思考。如此一来，学生的思维被有效启发，进而培养丰富的想象力。另外，教师还可以有意识地设计一些与教学内容密切联系的数学想象题，采用“头脑风暴法”引导学生进行积极讨论，从不同的角度进行引导，给学生提供充分的想象空间和创造想象的机会，这种做法常常能冲破空间和物质条件的限制，拓宽学生的思维与视野，激发学生的想象，提高其数学想象力。

　　二是运用类比，启发想象。类比是一种重要的数学思维方法，许多数学创造性思维是在类比中产生的，许多重大的数学发现也是通过类比找出相似性从而诞生的。数学创造之奇妙，很大程度上在于发现许多表面上看似毫无关联的事物，却在本质上有着千丝万缕的联系。类比想象能够让数学家们在差别很大的两者之间找出共同的特征，数学家们也常常根据不同数学知识或符号在某些方面的相似性而建立起联系，这种建立联系的桥梁便是想象。

　　在数学教学中，运用类比想象是激发学生定向思维、培养学生数学想象力的有效方法之一。实践中，学生如果具有类比想象的意识和眼光，常常只要理解最基本的数学知识，就可以通过类比想象出其他相应的数学知识。正确地运用类比想象，还能使学生学习的数学知识融会贯通。正如数学家乌拉姆曾指出的：所谓的数学才能，在一定范围内正是依赖于这种发现类比的能力。培育学生数学想象的能力，需要学生在想象中积累这种通过类比发现知识之间关联的经验，积蓄想象的力量。

　　三是注重直观理解和发掘知识之间的联系以启发想象。想象是以形象形式为主，“丰富的表象”是展开想象的前提。想象力发展的首要条件是主体本身具有一定的表象储备，没有表象活动，就没有想象力。正如菲尔茨奖获得者、法国数学家迪厄多内所说：“富有创造性的科学家与众不同之处，在于他们对所研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解。”美国数学家斯蒂恩也指出：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，就从思想上整体地把握了问题，并且能创造性思索问题的解法。在数学课堂教学中，要培养学生的想象力，教师就必须遵循直观性教学原则，充分发挥实物或直观教具的作用，同时，善于运用多媒体教学手段或直观形象的语言为抽象的问题设计模型，让学生获得想象的“源泉”，这是产生想象力的沃土。

　　教学实践中，教师可以借助各种教学方法与手段，如数形结合、注重知识之间的联系，于不疑处设疑，一疑激发多疑，浅疑探深疑……引导学生进行纵向的朝向“深处”的探索和横向的朝向“广处”的发现，展开“相似性想象”与“相异性想象”，从而激活学生的思维和想象力，努力让学生对数学知识达到直观的本质的理解。教师还可以通过一题多解、一题多变等方法激发学生的创造性思维。

　　培养数学想象力的策略还有很多，一位好老师应该懂得在教学中怎样激发和保护学生的想象力。要培养学生的数学想象力，教师首先要教导学生打下扎实的数学知识基础，这是培养学生数学想象力的根基。没有扎实宽广的知识面，想象力就是无源之水。想象力的产生是基于经验的，直接取决于一个人先前经验的深刻性、丰富性、多样性，以及他的思维方式。很难想象一个知识基础不扎实、没有良好思维方式的学生能有丰富的想象力。事实上，学生脑中蕴藏着无限的想象力，只要教师努力开发一切教育元素，将想象力的培养渗透到课堂的各个环节，每一个教学环节都有意识地采取正确的教学方法去启发、诱导学生，坚持不懈地工作，埋在学生心底的想象和想象力的种子就一定能生根、发芽、开花、结果。

　　(作者：徐彦辉，系温州大学数理学院副教授)

　　来源：《光明日报》(2024年2月6日15版)

发布时间：2024-02-07 12:01