⭐人文数学的文化意蕴及价值意义

摘要：一个时代的特征，在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。本文提出人文数学的概念，试图建立一个以数学、哲学、艺术为内核，以其他人文社会科学为亚内核，以系统学科、科学技术、生态学、统计学等为外延的有限域的人文数学体系架构。这一架构突出彰显人文数学的基础意义、工具意义、模型意义、方法意义和审美意义，使数学与新工科、新医科、新农科、新文科交互共享，把数学文化的意义价值集约广大，积极推进中国特色人文社会科学的学科体系、学术体系、话语体系建设。

每一个时代，都有逢时的人文社会科学和自然科学引领社会发展。马克思说：“自然科学往后将包括关于人的科学，正象关于人的科学包括自然科学一样：这将是一门科学。”列宁在上世纪初也曾指出：“从自然科学奔向社会科学的潮流，不仅在配第时代存在，在马克思时代也存在。在20世纪，这个潮流是同样强大，甚至可说是更加强大了。”数学作为与哲学同时存在的重要学科，它对一个民族和国家的推动与发展，是持续的、累加的，具有奠基意义和长效集约效应。著名数学家M.克莱因讲过，“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关”。A.N.Rao甚至强调，“一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量”。没有哪一种文化能像数学这样泽被天下。因之，联合国科教文组织于1992年，在里约热内卢宣布：“2000年是世界数学年”，同时在宣言中明确指出：“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”的确，世界需要这把钥匙，我们每个人也都需要这把钥匙。我国著名数学家齐民友说：“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”本文提出人文数学的概念，主要基于两个考虑：一是数学本身的学科发展及其内部结构和内容，或者叫做数学本体论；二是数学作为人类重要文化的内容之一，与其他文化以及人类文明进步的关系，或者叫做数学外延论。我这里讲的人文数学主要是指数学外延论的部分内容，因为数学本体论是由数学学科自己去完成的。基于数学学科的外延，在数学文化与2018年国家提出新工科、新医科、新农科、新文科建设的交互共享等方面，把数学文化的价值意义集约广大，以就教于学界、业界的方家。

一、关于人文数学的文化意蕴

文化是延续的、传承的，是人类社会发展的源头活水。作为先进文化的数学文化，它承载了人类文明最精华的东西。以往，人们一般喜欢把数学列为自然科学，自20世纪以来，许多著名学者包括钱学森在内，认为数学不应属于自然科学，而是一门单独学科，其突出特色是以作为语言符号、算法系统、形式系统、模型系统为主要形态的符号和结构，它应该与自然科学和人文社会科学并列。徐利治先生曾提出把数学与自然科学、社会科学（人文科学）、技术科学相并列。伴随融媒体等信息技术的出现，把技术科学单列亦具前瞻性思考。

文化是什么？文化记录今天，诉诸未来。人是一定社会的文化人，文化是一定社会的文化，人和文化都是沿历史向前发展的。按照汤因比的历史发展观，人类文明就是在挑战与应战中产生的。韦伯曾讲过这样一句名言：“人是悬在由他自己所编织的意义之网中的动物。”因此有人就说，“文化就是这样一些由人自己编织的意义之网”。当代人文社会学科正面临诸多严峻挑战，比如：传统人文学科的守正创新；人文学科与自然科学及理、工、农、医等学科的借鉴共享；人文学科与新媒体大数据交互共享；人文教育与资政育人；人文社会科学如何服务国家战略等。本文提出人文数学的概念，恰恰也是基于这样的时代挑战与应战。

数学经过几千年发展，通过逐步建立起对数的表示与计算方法，以及对整个自然世界、客观世界和社会问题的系统化建设，已然成为一个宏大的思想体系和充满活力的文化支系。数学不仅在科学推理中具有重要价值，在科学猜想和重大科学实验中起着核心作用。诚然，数学在许多重大工程设计中亦是必不可少的，而且“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了众多宗教教义，为政治学和宗教理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案……作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代他们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美”。可以这样讲，从主观意义或者对社会的作用方面看，人文数学既是个人认知的一种积累和素养，又是人文精神的充分表现；既是时代进步的巨大驱动力，又是一种流动着的个人意志风景，它包容及调节着一切社会科学和自然科学，制约与实施作为模式化的生活方式，具有在宇宙间的一切尽可能多的特质，是社会人的全部产品，是影响社会与个人的重要力量。

数学几乎具有人类文化的所有性质，其文化意蕴是数学的文化底色。伽里略有一句名言：“宇宙是永远放在我们面前的一本大书，哲学就写在这本书上。但是，如果不首先掌握它的语言和符号，就不能理解它。这本书是用数学写的，它的符号是三角形、圆和其他的图形，不借助它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。”数学，其大多时候并不刻意以客观实在为对象，也绝非只有数和形的要素及呈现形式。人们研究数学的直接动力，是要解决社会需要所提出的问题，而数学的最基本作用就是为人们提供合理、科学、便捷的自然现象结构。我曾在拙著《数学文化》中概括出万物皆数说、符号说、哲学说、科学说、逻辑说、集合说、结构说、模型说、工具说、直觉说、精神说、审美说、活动说、艺术说等十四种关于数学文化的概念，被学界多次转引。从学科本身来讲，数学是一门有相对独立性的学科，它既不属于自然科学，也不属于人文、社会科学；从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的形式看，数学是符号；从它对人们的生活意义看，数学是工具、是方法论；从它的社会价值看，数学是所有科学知识的基础。也有人分析说，数学可以分成两大类，一类是算的问题，一类是结构的问题。因此，对数学来说，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，过分强调某一方面，都可能忽视另一方面。我以为可用一句话概括：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。提出这个概念，主要强调以下几个方面的内容：

第一，数学是研究现实世界的实践科学，它不是形而上学的空洞内容。

第二，这种研究，重在数与形，是对现实世界中“数”“形”的解读。

第三，强调数学是一门结构性学科，而这种结构是数学抽象后的模式结构。

诚然，数学作为一门历史悠久的学科，从二千多年前的欧氏几何就已经形成较为完备的学科体系。但是，数学真正成为一门系统的现代学科，包括建立数的表示及计算方法，以及有一套完整系统的学科体系和方法论，只是近两个世纪的事情。欧拉、拉格朗日等人以牛顿、莱布尼兹的微积分为工具，开创了数学分析这门数学，从而导致近代力学及工程学的发展，成为工业革命的基础。而高斯和黎曼则使物理学几何化，将微分几何和复变函数的理论发挥得淋漓尽致，大大促进了电磁学和相对论的发展。而爱因斯坦和外尔将引力场和物质场几何化，在20世纪70年代就已完成标准模型，把人类智慧发挥到尽善尽美了。

二、关于人文数学的体系架构

人文数学，应该有一个体系架构和学科内涵，我试图确立一个人文数学的内核、亚内核和有限域的三元体系架构，有限域则是借鉴拓扑空间的思想。

（一）内核：数学、哲学、艺术等

人文数学的三元结构，内核是数学、哲学和艺术学。确立这样一个三元架构关系，是因为数学、哲学和艺术学密不可分，亦此亦彼。古代西方一些大数学家几乎都是大哲学家，故内核里面有哲学、数学容易理解。为什么把艺术作为三元之一，音乐曾被看成是一种宇宙和谐的理论，是有关数学的一门学科：“中世纪从古代继承了一个观点，即音乐并非一种自由创造的艺术，而是一门把数学理论付诸实用的严谨的科学。”因此，把艺术作为内核，古已有之，势在必然。

1.数学与哲学。自有哲学以来，数学就成了哲学问题的一个重要来源，数学为哲学的生存与可持续发展提供了丰富的社会实践土壤。B.Demollins说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”数学与哲学同宗同源，从2000多年前毕达哥拉斯的“数统治着宇宙”到欧几里得的点、线、面等抽象定义，以及亚里士多德的“数学与哲学是相同的”，直到今天，数学一刻也没有离开过哲学，哲学同样也一刻没有离开过数学，哲学把整个世界作为自己的对象，数学亦然。

数学文化的哲学意义，主要强调它是一种形而上的思维科学，且具有特殊的范型（范式、规范）意义。数学文化的哲学观，从一定意义讲突出了数学作为一门独立学科的思维方法。思维是数学的灵魂，而这样一种思维集中体现在诸如观察、实验、类比、归纳、猜测、想象等一些社会实践中。

数学基于形体，它面对自然界的万事万物，但它的概念又是形而上的。比如欧几里得在其《原本》中的那些概念，几乎都是从哲学方面去定义：

点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度；直线是同其中各点看齐的线；面是只有长度和宽度的那种东西；……圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，从其内某一点达到该线的所有直线彼此相等，等等。

那么，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么呢？“没有部分”存在吗？我们能知晓它们吗？我们能说欧氏定义的“点”就在我们心中吗？所有这些都不是从经验中获得。实际上，他们都是关于意义、真理、社会实践知识的一些最基本问题，都属于哲学的范畴。

牛顿在其《自然哲学之数学原理》第一版序言中曾说，他是把这本书作为哲学的数学原理著作，在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来。罗素更直白，为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，但要成为一个好数学家，他把数学素养作为创造健康哲学的基本条件。哲学和数学这种类似体用关系的两门学科，通常是通过对立统一去实现互补的。他们的相互作用体现了数学的深刻本质，包括有时你很难评判的“下意识”和“有意识”到底谁更正确、谁更接近真理。我们通过以下几组对应关系来对数学与哲学做一些探讨和尝试：

（1）宏观与微观。哲学从宏观上探讨对整个世界的意义，是人们认知世界的思想体系，其主要内容包括思维对存在、思维对精神、思维对物质的交互统一等。因此，哲学在大范围内高维度地认知世界，诠释大道理。而早期数学，既着眼于对世界的宏观认识，也注重具体事件。比如，在对定理、概念的确认方面，几何直接进入到意义、真理、实在等一些属于哲学范畴的领地。但对解决具体实践问题的数学来说，它不像哲学那么宏观、抽象。数学是实践科学，它研究从现实活动中抽象出来的许多看似一般但并非任意性的概念，并将这些概念及它们之间的复杂关系形式化、格式化、模型化。这样，数学就有条件通过演绎或归纳进入到其他学科或者更具象的事物结构中去。

数学进到其他学科，从中获得丰富的营养，以拓宽自己的视域，发挥自己的作用。数学一旦成功进入到一门学科中，它就无可争辩地获得了该学科的支配权，而这种支配权实际上就是这门学科成熟、完善的唯一体现。达芬奇说：“任何人类的探究活动也不能称为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路。”与哲学相比，数学不仅注重形而上，更关心形而下，形内形外，形上形下，完美统一。

（2）抽象与具体。哲学研究的对象往往是非可视、非具体的，数学不一样，其定义、定理、公设，既源于社会实践，又高度抽象。数学研究抽象，一旦抽象与具体事物联系在一起，它又是很具体的内容和结构。哲学大多时候类似只可意会不可言传，而数学则长于言传。数学的本质在于它的严密性、精确性和抽象性。数学抽象一般是对概念而言，而概念是从实践中抽象出来的，一旦这种抽象完成，其抽象结果就具有普遍性和公理性。欧几里得的“公设”“公理”，包括一些“定理”等，都具有这样的普遍意义和性质。

（3）无限和有限。在对待无限和有限的问题上，西方数学家往往受他们哲学观的影响，顾此失彼。希尔伯特曾热情洋溢地指出：“从来就没有任何问题能像无限那样，深深地触动着人们的情感；没有任何观念能像无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理智；也没有任何概念能像无限那样，是如此迫切地需要予以澄清。”实际上，有限和无限是相依而存在，离开有限，无限也没有意义，并且不能实现同实体相区别。马克思主义者认为，在对待无限的问题上，绝对的肯定与否定，非此即彼的做法都是不可取的。无限的概念本来就是抽象的，而这种抽象必然有对社会现实的部分失真。因此，既不能把这种抽象等同于现实，也不能因它对现实的部分失真而否认它的存在合理性。

（4）线性与非线性。通常我们讲线性与非线性，一般是与连续和离散联系在一起的。函数的向量变化分为两大类，如时间、距离、质量等，通常我们可以用一个数量来描写就可以了。但是，要描述物体的运动规律，用一个数量就不够了，这时就要用一个有大小有方向的向量。如果还要去描述更多的物体运动规律，或一个点的即时运动，就需要空间坐标系的向量场，以及连续函数等。反之，如果再描述更复杂的物体运动规律，那就需要张量和张量场。爱因斯坦的相对论，就是借鉴数学中黎曼几何等思想，用张量表示时空、动量和能量，从而取得成功。

（5）量变与质变。数学是研究事物关系的模型以及对事物运动状态进行描述的一门科学，其中一个非常重要的内容就是量变与质变。从量变到质变是辩证法的重要内容之一，除此还有对立统一、否定之否定等。从数学的观点看，世间万千事物的交互联系，无非都是一个n维（有穷或无穷）空间的函数关系。而事物的变化，则是这个函数分量之间增加与减少的趋势，增或减是最基本的变化。函数的变化分为连续和不连续，连续函数表明事物变化只是在量的多少上，而间断的非连续函数则表明在那个间断节点上已经发生了质的变化。数字关系是宇宙的关键，通过数字可以知晓世间所有事物。在数学中，我们还要特别关注一些变中不变或者不变中变的东西，那往往是大规律，带根本性的趋势或公理。

（6）证明与非证明。大哲学家黑格尔曾说过，“证明是数学的灵魂”。数学研究结构，比如对某一结构关系，通常情况如果它受什么条件制约的话，则必须有什么性质与其对应。不少著名定理的发现始于数学猜想，许多古代哲学家、数学家都毫不犹豫地把一些著名猜想从它很平淡的推理中演绎出来。

相对于数学证明，哲学无需证明“假设”和“如果”。哲学的命题从来都是肯定的、唯一的、不含糊的。比如“世界是物质的”，“一切事物都包含着矛盾”，“物极必反”……这些命题不需要先决条件。哲学不像数学，一定要把命题与具体事物联系起来，哲学就整体而言是宏观的，它喜欢高屋建瓴。比如，物质是无限可分的，不存在不可分的基本粒子，对于这个命题，永远不可能被证实。这是因为，即使我们把现在已经发现的“基本”粒子再分1亿次，也还不能说已经“无限可分”。反过来讲，即使再过100万年甚至更长时间，我们还不能把“基本”粒子再分割成更基本的粒子的话，也不能推翻这个命题。因此，哲学的许多命题很难证实，或者说不能证伪。

（7）先天知识与后天经验。讨论数学文化的哲学观不能避开先天知识与后天经验知识的区分这一事实。从历史传统看，理性主义的哲学家大都主张先天知识比经验知识更重要，经验主义者则持相反的态度。先验因素包括时间空间的直观形式和因果性、必然性这类知行范畴。从最广泛的意义讲，经验是指一种态度或者成见，包括理念意义和哲学的认识论。比如，关于点、线、面、数等概念知识，它们所代表的事物源于经验，且一旦被抽象出来，就往往会继续以自我的、超过经验科学的方式去发展。数学不应算是经验科学，它更应是一种在思维创造意义下的科学。冯·诺依曼曾警告说：“数学思想来源于经验……虽则经验与数学思想之间的宗谱有时是悠久而朦胧的，但是数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的，受几乎一切审美因素支配的学科，比把它比作别的事物特别是经验科学更好一些。”

2.数学与艺术。艺术长于形象思维，以美启真。数学长于逻辑思维，以真扬美。雨果说：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”而艺术“越往前走，艺术越要科学化，同时科学也要艺术化，两者殊途同归”。A.波莱尔曾指出：“一方面，数学是一门科学，因为他的主要目的是为自然科学和技术科学服务，这个目的实际上正是数学的起源；另一方面，数学也是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类脑海深处，只有美学标准才是最终的鉴定者。”数学与艺术生生不息。数学主要是解决归纳、集约、解构和重构的问题，包括设计艺术，概莫能外。

达·芬奇作为意大利著名艺术家、科学家，是整个欧洲文艺复兴时期最杰出的代表之一，他学识渊博，在多个领域卓有成就。爱因斯坦曾认为，达·芬奇的科研成果如果在当时就发表的话，世界科技可以提前半个世纪。

3.哲学与艺术。哲学是一种科学理念和社会意识形态，它比其他社会意识形态更高远、更概括，更能完整地彰显人们对客观世界和物质世界的认识，指导人们的社会实践与思想活动。而艺术与哲学比，则是具象的、生动的、感染人的。艺术通过文学、戏剧、电影、音乐、舞蹈、绘画雕塑等多种形式，展现社会生活中的内容，源于生活、高于生活，感染人、教育人、启迪人。虽然艺术和哲学的属性与呈现不一样，但它们都是社会意识的核心内容和精神力量，对人们的社会生活和思想行为有重要影响。

关于人文数学的核心架构，我们可以用这样一个三元结构图形来说明（见图1）：